为何日常生活多数服从泊松分布

I 前提

首先，我们讲服从泊松分布的事件要满足：

1. 事件的发生是独立的且事件的发生概率很小
2. 在相同大小的时间或空间内, 事件的发生的概率是相同的

II 开始——二项分布

把事件的发生当做n次伯努利试验,那么事件发生k次的概率满足二项分布：

我们也可以这样理解：我们讲事件发生的时间间隔或空间间隔分为n份，每个时间间隔中事件至多发生一次。

III 正题——泊松分布

针对上述理解，当时：

众所周知，二项分布中：，则；我们将样本均值近似看做期望，得到：

所以式等于：

由于：

所以式等于：

从而得到上述泊松分布的概率密度函数表达式。因此：泊松分布描述的是某段时间内，事件具体的发生概率。

IV 延伸——指数分布

指数分布描述的是事件发生的时间间隔的概率

指数分布描述的是一个事件发生后，间隔时间后该时间再次发生的概率。

也就是在时间段内没有事件发生，用公式表示为：

那么在时间内发生的概率即为指数分布的分布函数表达式：

V 延伸——正态分布

如果存在有限极限 ，则这列二项分布就趋于参数为 的 泊松分布。反之，如果趋于无限大（如 p 是一个定值），那么根据拉普拉斯中心极限定理，这列二项分布将趋近于正态分布。相关关系如图所示。