泊松过程推导

本文将通过计数过程推导 t 时刻事件发生 k 次的概率公式。

I. 计数过程

有这样一段连续时间，事件每经过时间间隔发生一次，这里用代表从到时间内事件发生的次数，那么在简单模型下，事件的发生次数。

众所周知，在实际生活中事件发生的间隔不会是相同的，例如网站中的用户登录事件、路由器中的数据包到达事件等。所以这里我们把发生事件的间隔定义为，表示第个事件发生后，经过个时间间隔第个事件发生，这时为一个随机变量，此时事件的发生次数可以表示为，代表时间内发生事件的次数，这个随机过程就称为计数过程。

II. 计数过程的条件

由定义可知，代表时间内发生事件的次数，那么。

计数过程还需满足：

1. 独立增量过程。独立增量过程表示事件发生的前一过程对后一过程没有影响，

2. 平稳增量过程。是一个离散的随机变量，该变量的统计分布只依赖与事件长度，与具体的位置无关，

3. 稀疏性。稀疏性具体表现在事件在小间隔内发生多次的概率很低。

以上三个条件都是不现实的，均是为了简化计算而设立的简单过程。

III. 概率公式推导

根据计数过程的定义，可以推导出经过时间后事件发生次的概率。

由于计数过程是离散的，故这里使用的方法是概率母函数：

对母函数进行变换：

将计数过程带入母函数，并对母函数求微分：

由期望的线性性质得上式：

由于计数过程是独立增量过程，故与过程独立，上式：

由于计数过程是平稳增量过程，的统计分布和相同，且，故上式：

对进行推导

这里需要对、、分别求解。

1. 解

• 若在时间内事件发生次数为0，那么在中任取一点，则事件在和时间内事件发生次数也为 0；

• 由于两段时间无重叠部分，事件独立，故可写为两个事件概率相乘；

• 由于是平稳增量过程，

这里我们令，根据上式可得：

而满足的函数只有指数函数，故

关于满足的函数是指数函数的证明：

1. 令，则，此时需判断可取log，即证
   2. 假设，则
   3. 那么，故不考虑。
2. 对不同数域下的 t,s 进行分别证明：

2. 解

在对母函数进行 Z 变换时，存在一个收敛域的条件，即：，故：

故原式：

3. 解

由概率和等于 1 可知：

对推导完成。

对原式进行推导

即：，自变量为，解常系数微分方程：

而，那么：

上式对展开：

而由母函数 Z 变换式子可得：

即参数为的泊松过程。